Для тех, кто допускает, что его жизнь будет так или иначе связана с программированием, рекомендуется
создавать классы для базовых примитивов (точка, вектор, прямая, луч, окружность и т.п.) и определять соответствующие операции с ними.
Например, разность двух точек может давать вектор, вектора можно скалярно и векторно перемножать.
Сами вектора можно умножать на числа, складывать и вычитать.
Прямую можно собрать по двум точкам, по точке и вектору, которому прямая должна быть параллельна или перпендикулярна.
Функция "Пересечение" может выдавать список точек (возможно, пустой)
И т.п. Здесь хороший простор для продумывания удобной архитектуры решения.
Русско-английский тематический словарик
точка
point
вектор
vector
прямая
line
луч
ray
отрезок
segment
угол
angle
окружность
circle
треугольник
triangle
прямоугольник
rectangle
квадрат
square
многоугольник
polygon
окружность
circle
медиана
median
биссектриса
bisector
высота
altitude
пересечение
intersection
длина
length
периметр
perimeter
площадь
area
касательная
tangent
скалярное произведение
dot product
векторное произведение
cross product
вектор нормали
normal vector
ZQ: Принадлежность точки многоугольнику
Первая строка входных данных содержит число N, 3⩽N⩽105.
Далее идет N точек — координаты вершин многоугольника.
Затем идут координаты проверяемой точки. Программа должна вывести YES, если точка лежит внутри многоугольника или на его границе и
NO в противном случае.
Координаты всех точек могут быть дробными числами!
3
4
0 0
100 0
1 1
0 100
2 2
NO
ZR: Принадлежность точки выпуклому многоугольнику
Первая строка входных данных содержит число N, 3⩽N⩽105.
Далее идет N точек — координаты вершин выпуклого многоугольника.
Затем записано число K , 3⩽N⩽105 — количество проверяемых точек. Затем в K
строчках записаны координаты K проверяемых точек.
Для каждой проверяемой точки выведите YES, если точка лежит внутри многоугольника или на его границе и NO в противном случае.
Координаты всех точек могут быть дробными числами!
3
0 0
2 0
0 2
2
1 1
2 2
YES
NO
Разные задачи
ZS: Ловушка для Слонопотама
Пятачок и Винни-Пух каждое утро ходят пить чай в гости к Кролику. Естественно, самым коротким путем.
К сожалению, однажды Винни-Пуху пришла в голову идея вырыть ловушку для Слонопотама.
Самое обидное, что они с Пятачком ее даже вырыли. Поэтому теперь каждое утро,
идя в гости к Кролику, они боятся в нее провалиться.
Напишите программу, которая посчитает длину самого короткого
безопасного пути от домика Винни-Пуха до домика Кролика.
Ловушка для Слонопотама представляет собой яму абсолютно круглой формы. Путь является безопасным, если он не проходит по ловушке (но может проходить по ее границе).
В первой строке входных данных записаны координаты домика Винни-Пуха $X_B$, $Y_В$,
во второй строке — координаты домика Кролика $X_K$, $Y_K$, в третьей строке —
координаты центра и радиус ловушки $X_L$, $Y_L$, $R_L$.
Все координаты — целые числа из диапазона от –32000 до 32000.
Радиус ловушки — натуральное число, не превышающее 32000.
Домики Винни-Пуха и Кролика не могут находиться внутри ловушки,
но могут находиться на ее границе.
Выведите в выходной файл одно число — длину самого короткого безопасного пути от домика Винни-Пуха до домика Кролика с тремя знаками после точки.
0 0
0 1
10 10 1
1.000
5 0
0 5
0 0 5
7.854
-5 0
5 0
0 0 3
11.861
ZT: Воздушный шарик
Винни Пух и Пятачок отправились воровать мед у пчел, и, в очередной раз влипли в неприятности.
Пятачку опять потребовалось выстрелить из своего охотничьего ружья и пробить воздушный шарик,
на котором Винни Пух поднялся к дуплу за медом. При этом желательно попасть именно в шарик,
не задев медведя. Вычислите оптимальную позицию для стрельбы.
Поскольку Винни Пух очень любит покушать, то в данной задаче (да и не только в задаче)
примем его за сферу радиуса $P$. Центр медведя находится на высоте $H_p$ над уровнем земли.
Строго над медведем , находится еще одна сфера, радиуса $S$ — воздушный шарик;
центр шарика находится на высоте $H_s$ над уровнем земли.
Центры обеих сфер находятся на одной вертикальной прямой.
По понятным причинам гарантируется, что сферы не пересекаются, однако могут касаться.
Считая, что ружье стреляет строго по прямой, вычислите минимальное расстояние $L$, на которое Пятачок должен отойти
от места взлета, чтобы успешно поразить шарик. Шарик считается пораженным, если траектория пули хотя бы касается его поверхности;
при этом если траектория пули касается медведя, то он считается невредимым.
Вводятся положительные целые числа $P$, $H_p$, $S$ и $H_s$, не превосходящие 10000.
Выведите минимальное расстояние от точки взлета, с которого можно поразить шарик из ружья.
1 9 10 21
0.0
ZU: Космический кегельбан
На планете Плюк открылся новый космический кегельбан.
Поле для кегельбана представляет собой бесконечную плоскость,
на которой расставлены кегли.
Каждая кегля представляет собой высокий цилиндр с основанием
в виде круга радиусом $r$ метров. Все кегли одинаковые. Кегли расставлены по
следующим правилам. Кегли образуют $n$ рядов, в первом ряду стоит
одна кегля, во втором — две, и так далее. В последнем $n$-м ряду
стоит $n$ кеглей. Введем на плоскости систему координат таким образом,
чтобы единица измерения была равна одному километру. Центр единственной кегли
в первом ряду находится в точке $(0, 0)$. Центры кеглей во втором ряду находятся
в точках $(–1, 1)$ и $(1, 1)$. Таким образом, центры кеглей в $i$-м ряду находятся
в точках с координатами $(–(i – 1), i – 1)$, $(–(i – 3), i – 1)$, ..., $(i – 1, i – 1)$.
Игра происходит следующим образом. Используется шар с радиусом $q$ метров.
Игрок выбирает начальное положение центра шара $(x_c, y_c)$ и вектор направления
движения шара $(v_x, v_y)$. После этого шар помещается в начальную точку
и двигается не останавливаясь в направлении вектора $(v_x, v_y)$. Считается,
что шар сбил кеглю, если в процессе движения шара имеет место ситуация,
когда у шара и кегли есть общая точка. Сбитые кегли не меняют направления
движения шара и не сбивают соседние кегли при падении.
На рисунке приведен пример расположения кеглей для $r = 500$, $n = 4$
и шара для $q = 1000$, $x_c = –2$, $y_c = –2$, $v_x = 1$, $v_y = 1$.
Требуется написать программу, которая по заданным радиусу кегли $r$,
количеству рядов кеглей $n$, радиусу шара $q$, его начальному положению $(x_c, y_c)$
и вектору направления движения $(v_x, v_y)$ определяет количество кеглей, сбитых шаром.
Первая строка входных данных содержит два целых числа:
$r$ и $n$, разделенных ровно одним пробелом ($1 \le r \le 700$,
$1 \le n \le 200000$).
Вторая строка входных данных содержит целое число $q$ ($1 \le q \le 10^9$).
Третья строка входных данных содержит два целых числа $x_c$ и $y_c$,
разделенных ровно одним пробелом ($–10^6 \le x_c \le 10^6$, $–10^6 \le y_c$,
$1000y_c \lt –(r + q)$).
Четвертая строка входных данных содержит два целых числа $v_x$ и $v_y$,
разделенных ровно одним пробелом ($–10^6 \le v_x \le 10^6$, $0 \lt v_y \le 10^6$).
Программа должна вывести одно целое число — количество сбитых кеглей.
500 4
1000
-2 -2
1 1
7
ZV: Кольцевая автодорога
К 2110 году город Флэтбург, являясь одним из крупнейших городов мира,
не имеет обходной автомагистрали, что является существенным препятствием
для его развития как крупнейшего транспортного центра мирового значения.
В связи с этим ещё в 2065 году при разработке Генерального плана развития
Флэтбурга была определена необходимость строительства кольцевой автомобильной дороги.
В Генеральном плане также были обозначены требования к этой дороге.
Она должна соответствовать статусу кольцевой — иметь форму окружности.
Кроме этого, четыре крупные достопримечательности Флэтбурга должны быть
в одинаковой транспортной доступности от дороги.
Это предполагается обеспечить тем, что они будут находиться на равном расстоянии от неё.
Расстоянием от точки расположения достопримечательности до дороги называется наименьшее
из расстояний от этой точки до некоторой точки, принадлежащей окружности автодороги.
Дирекция по строительству города Флэтбурга, ответственная за постройку кольцевой автодороги,
решила привлечь передовых программистов для выбора оптимального плана постройки дороги.
Требуется написать программу, которая вычислит число возможных планов постройки
кольцевой автомобильной дороги с соблюдением указанных требований и найдёт такой план,
для которого длина дороги будет минимальной. Гарантируется, что хотя бы один план постройки существует.
Программа получает на вход четыре строки. Каждая из них содержит по два целых числа:
$x_i$ и $y_i$ — координаты места расположения достопримечательности.
Никакие две достопримечательности не находятся в одной точке.
Все числа не превосходят 100 по абсолютной величине.
В первой строке требуется вывести число возможных планов постройки
кольцевой автомобильной дороги. Если таких планов бесконечно много, необходимо вывести
в первой строке выходного файла слово Infinity.
Во второй строке требуется вывести координаты центра
дороги минимальной длины и её радиус. Если существует несколько разных
способов построения дороги минимальной длины, необходимо вывести координаты
центра и радиус любой из них. Координаты центра и радиус должны быть выведены
с точностью не хуже $10^5$ и не должны превышать $10^9$ . Гарантируется,
что существует хотя бы один план с такими параметрами.
